체의 구조

체의 구조를 설명하기 전에, '공리'의 개념을 알아야 한다.

명제	참과 거짓을 명확하게 구분해주는 문장
공리	증명할 필요가 없는 기본 명제
공리적 집합론	공리를 기반으로 구분하는 집합론

서로 다른 두개의 연산이 존재할 때, 아래의 조건을 모두 만족하는 수의 집합은 체의 구조를 지닌다고 표현한다.

첫 번째 연산과 두 번째 연산 모두 결합법칙이 성립된다.
첫 번째 연산과 두 번째 연산 모두 교환법칙이 성립한다.
첫 번째 연산과 두 번째 연산에 분배법칙이 성립된다.
첫 번째 연산과 두 번째 연산 모두 닫혀있다.
첫 번째 연산과 두 번째 연산 모두 항등원이 존재한다.
첫 번째 연산과 두 번째 연산 모두 역원이 존재한다.

1번과 2번 공리를 만족하는 사칙연산은 다음과 같다.

덧셈 연산	결합법칙과 교환법칙 성립
뺄셈 연산	결합법칙과 교환법칙 불성립
곱셈 연산	결합법칙과 교환법칙 성립
나눗셈 연산	결합법칙과 교환법칙 불성립

서로 다른 연산이면서 3번 공리를 만족하는 형태는 다음과 같다.

(덧셈 연산) 곱셈연산	( a + b ) \(\times\) c	분배법칙 X
(곱셈연산) 덧셈연산	( a \(\times\) b ) + c	분배법칙 O

4번~6번 공리를 만족하는, 체의 구조를 가지는 수집합은 다음과 같다.

자연수	자연수의 역원은 음수이며, 음수는 자연수에 포함되지 않는다. ex) 2 + 3 = 5 에서 2와 3의 역원은 -2와 -3이다.	체의 구조 X
정수	곱셈 연산에서 정수의 역원은 분수의 형태이며, 분수는 정수가 아니다. ex) 4 \(\times\) 2 = 8 에서 4와 2의 역원은 \(\dfrac{1}{4}\)와 \(\dfrac{1}{2}\)이다.	체의 구조 X
유리수	역원과 항등원 모두 유리수이며, 유리수에 대해 닫혀있다.	체의 구조 O
무리수	역원과 항등원은 0과 1로 무리수가 아니며, 연산의 결과 값도 무리수가 아니다. ex) \(\sqrt{2} \times \sqrt{2}\) = 2	체의 구조 X
실수	역원과 항등원 모두 실수이며, 실수에 대해 닫혀있다.	체의 구조 O
복소수	\(\mathbb{C}\)는 집합으로서 \(\mathbb{R}^2\)과 같다.	체의 구조 O
사원수	복소수에서 확장되어 만들어진 수이며, 곱셈 연산에서 교환법칙이 성립되지 않는다.	체의 구조 X

결론적으로 체의 구조를 가지는 것은 유리수, 실수, 복소수가 있다.
그리고 체의 구조를 가진다는 것은 사칙연산을 자유롭게 사용할 수 있다는 것이다.
정확히는 덧셈과 곱셈을 자유롭게 사용할 수 있다는 것인데, 뺄셈과 나눗셈을 덧셈과 곱셈으로 표현이 가능하기 때문에 사칙연산을 자유롭게 사용할 수 있게 되는 것이다.