함수

함수는 두 집합에서 첫 번째 집합의 원소가 두 번째 집합에 있는 원소에 대응하는 관계를 의미한다.
하지만 첫 번째 집합의 원소가 두 번째 집합의 원소에 대응된다고 무조건 함수라고 할 수 없다.
여기서 중요한 것은 첫 번째 집합의 '모든 원소'가 두 번째 집합에 있는 원소 중 '하나'에 대응해야 한다는 것이다.
이것이 함수가 되기 위한 필수 조건이다.

함수가 되기 위한 기본 조건	1	첫 번째 집합의 모든 원소가 두 번째 집합의 원소에 대응해야 한다.
함수가 되기 위한 기본 조건	2	첫 번째 집합의 원소가 대응하는 두 번째 집합의 원소는 하나여야 한다.

함수에는 정의역, 공역, 치역이라는 개념이 존재한다.

정의역	첫 번째 집합의 원소
공역	두 번째 집합의 원소
치역	첫 번째 집합의 원소에 대응되는 두 번째 집합의 원소들의 집합

함수는 다음과 같이 표시한다.

\(y\) =\(f(x)\)

\(f\)식에 집합 \(x\)의 원소를 대입했을 때, 집합 \(y\)의 원소가 나온다(\(x\)가 \(y\)에 대응한다)라는 의미

함수의 종류는 많으며, 반드시 알고 구분해야 하는 함수는 다음과 같다.

전사 함수	공역과 치역이 동일한 함수
단사 함수	정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수
전단사 함수	정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되면서 공역과 치역이 동일한 함수
항등 함수	정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수 [ 기호 : id ] ※ 항등원과 동일한 기능이다.
역 함수	정의역과 (공역)치역을 서로 뒤바꾸어 얻는 함수 ※ 역원과 동일한 기능이다. ※ 모든 함수가 역함수를 갖지는 않으며, 역함수를 가지려면 전단사 함수의 구조여야 한다.

전단사 함수만 역함수를 가지는 이유는 전사 함수와 단사 함수의 역함수가 함수의 기본 조건을 충족하지 못하기 때문이다.

예를 들어 전사 함수의 구조인 (원소 4개)X \(\rightarrow\) (원소 3개)Y가 있다고 하자.
위 함수는 2개의 정의역이 같은 공역을 대응하는 구조이다.
그리고 그러한 점이 역함수를 가지지 못하는 이유가 된다.
역함수는 정의역과 치역이 뒤바뀌는 것이다.
즉, '같은 공역을 대응하던 정의역 두 개'가 '두 개의 공역을 대응하는 정의역'이 되어버리는 것이다.
그렇게 되면 함수의 기본 조건 '첫 번째 집합의 원소가 대응하는 두 번째 집합의 원소는 하나여야 한다.'를 불충족하게 되며, 함수로 인정되지 않는다.

이번에는 단사 함수의 구조인 (원소 3개)X \(\rightarrow\) (원소 4개)Y가 있다고 하자.

위 함수는 정의역보다 공역의 개수가 많아서 대응되지 않은 공역이 있는 구조이다.
그리고 이러한 점이 역시 역함수를 가지지 못하는 이유가 된다.
정의역과 (공역)치역을 뒤바꾸어 역함수를 만들었을 때, 공역이었던 것은 모두 정의역이 된다.
즉, '대응관계가 없는 공역'이 '대응관계가 없는 정의역'이 되어버리는 것이다.
그렇게 되면 함수의 기본 조건 '첫 번째 집합의 모든 원소가 두 번째 집합의 원소에 대응해야 한다.'를 불충족하게 되며, 함수로 인정되지 않는다.

연산을 통해서 2개의 함수를 이어서 하나의 함수로 만들 수도 있는데, 이를 함수의 합성이라 한다.
합성 함수는 이항연산이며, 결합법칙이 성립한다.

합성 함수

2개의 함수를 이어서 하나의 함수로 만든 것

이항연산이며, 결합법칙 성립

연산 기호 : \(\circ\)

세 집합 \(x, y, z\)가 서로 대응관계로써 \(x \rightarrow y \rightarrow z\)일 때, 합성 함수는 다음과 같이 표기한다.
※ \(f(x)\)는 \(x \rightarrow y\)이고, \(g(y)\)는 \(y \rightarrow z\)이다.

\((g\circ f)(x)\)
\(g(f(x))\)

만약, 네 집합 \(w, x, y, z\)이 \(w \rightarrow x \rightarrow y \rightarrow z\)이라면 함수의 합성은 다음과 같이 2가지 방법으로 할 수 있다.

주어진 함수	첫 번째 합성	최종 합성
\(f(w), g(x), h(y)\)	\((g\circ f)(w)\) 와 \(h(y)\)	\((h \circ (g \circ f))(w)\)
\(f(w), g(x), h(y)\)	\(f(w)\) 와 \((h\circ g)(x)\)	\(((h \circ g) \circ f)(w)\)

합성 함수의 역함수는 합성 순서를 반대로 한 것과 같다.
역함수는 \(f^{-1}\)로 표시하므로, 합성 함수 \((g \circ f)(x)\)의 역함수는 \((g \circ f)^{-1}(x)\)이다.
그리고 \((g \circ f)^{-1}(x) = g^{-1}(y) \circ f^{-1}(x)\)이다.

항등함수와 역함수는 항등원과 역원의 개념이다.
그러므로 함수와 역함수를 합성하면 항등함수가 된다.