수직선

(수를 표현하는)수직선은 실수를 대응시켜 표현한 직선이다.
그와 별개로 또 다른 수직선이 있는데, 이 수직선은 직각으로 만나는 수직선이다.
결론적으로 수학에서 수직선은 동음이의어로, '수를 표현하는 직선'과 '직각으로 만나는 선'의 뜻을 가진다.

여기서는 수를 표현하는 수직선에 대한 것을 다룬다.

수직선을 그리는 방법은 다음과 같다.

가로로 직선을 그리고 가운데를 0으로 표시한다.
오른쪽 방향으로, 일정한 간격으로 +1씩 증가시켜 숫자를 표시한다.
왼쪽 방향으로, 일정한 간격으로 -1씩 증가시켜 숫자를 표시한다.

위 방식대로 수직선을 그린 결과는 다음과 같으며, 수직선의 길이는 필요에 따라 더 짧거나 길어도 상관없다.

수직선에서 가운데 0은 기준점이며, '원점'이라고 부른다.
수직선에서 오른쪽은 (+)양수를 나타내고, 왼쪽은 (-)음수를 나타낸다.
수직선에서 방향에 상관없이 이동한 거리만 표현하기 위해서는 '절댓값 ( || )'기호를 사용한다.

수직선에서 화살표를 통해 어디에서 어떤 방향으로 어디까지 이동했는지를 표현할 수 있다.

수직선에서 덧셈 연산과 곱셈 연산을 표현하는 방법을 알아보자.

먼저, 덧셈 연산과 곱셈 연산은 조금 다르게 생각을 해야하기 때문에 간단한 덧셈 연산부터 살펴보겠다.

만약 덧셈 연산 1 + (-2) = -1 이 주어졌다고 해보자.
덧셈 연산은 직관적으로 보고 이동만 하면 된다.
식에서 투입된 수가 수직선에서 이동해야 하는 거리들이며, 예시에서는 1과 -2이 해당된다.
그렇기 때문에 (0)원점에서 1만큼 (+)오른쪽으로 이동하는 것이 첫 번째 이동이다.
그리고 다시 2만큼 (-)왼쪽으로 이동하는 것이 두 번째 이동이다.
마지막으로, 최종 도착 지점에 점을 찍어주면 수직선에서의 (예시로 주어진)덧셈 연산 표현이 끝난다.

이것보다 간단하게 표현도 가능하다.
위에서는 원점부터 시작을 했다면, 이번에는 덧셈 연산에서 주어진 첫번째 수부터 시작을 하는 것이다.
기준점을 무엇으로 잡고 시작하느냐의 차이 밖에 없지만, 한 단계를 줄일 수 있어서 식이 간단할 수록 편하다.

위에 쓰인 예시인 1 + (-2) = -1을 다시 표현해자.
먼저 식에서 주어진 첫 번째 수가 1이므로, 기준점을 1로 잡고 1에서 시작한다.
1에서 시작하여 (-)왼쪽 방향으로 2만큼 움직인다.
이렇게하면 주어진 덧셈 연산의 (수직선에서의) 표현은 끝이다.
처음에는 두 번을 움직였다면, 이번에는 단 한 번만 움직여서 표현을 했다.

다음으로 곱셈 연산은 덧셈 연산보다 조금 생각을 해야 한다.
곱셈 연산에서는 방향이 중요해진다.
덧셈 연산에서는 +는 오른쪽으로, -는 왼쪽으로 이동하면 된다.
그러나 곱셈에서는 +는 (오른쪽)정방향, -는 반대방향이다.

곱셈 연산의 예시로 2 \(\times\) -3 = -6 이라는 식이 주어졌다고 하자.
먼저 곱셈 연산도 투입된 수만 따로 본다.
예시로 주어진 식에서 투입된 수는 2와 -3이다.
이제 생각할 것은 곱셈을 덧셈으로 어떻게 표현하냐이다.
곱셉 연산 a \(\times\) 5 는 덧셈 연산 a + a + a + a + a 와 같다.
그러므로 예시로 주어진 식은 결국 2를 -3번 더한 것이다.
여기서 고민이 되는 것은 -3번 더한다는 것이다.
하지만 수직선에서 +와 -는 방향을 뜻한다는 것을 알고 있으므로, 크게 걱정할 것이 없다.
곱셈 연산에서 -는 반대방향이라고 얘기했다.
이는 절댓값을 씌운 수만큼 이동한 다음 반대방향으로 대칭시키는 작업을 하면 되는 것이다.
즉, a \(\times\) -b 는 a \(\times\) b의 결과 값을 반대방향으로 대칭시키면 되는 것이다.
이것은 -a \(\times\) -b에서도 똑같이 적용되며, -a \(\times\) b의 결과 값을 반대방향으로 대칭시키면 끝이다.

위 설명을 토대로, 예시로 주어진 곱셈 연산을 수직선에 표현한 것은 다음과 같다.